polytechnique concours rapports

u) soient.
On suppose que, pour u susamment voisin de 0, F (u) est de la forme F (u) u1, u2, f (u1, u2 ) avec f (0) (1 f 0) (2 f 0).
Pour tout k 1,., n 1 on note Vk le produit par (1)k1 du (i) déterminant de la matrice (xj ) où i 1,.,n et j 1,., k 1, k 1,.,.Ce problème propose une étude des surfaces de lespace R3 et de leurs courbures totale et moyenne.On note Fi (u i 1, 2, 3, les composantes de F (u) ; on suppose que U contient le point 0 et on fait létude de la surface F (U ) au voisinage du point F (0).On note V le vecteur de Rn1 de composantes.4.a) Vérier que lapplication u W (u) est de classe.On suppose Ä ä linéairement indépendantspour tout u, et on pose W (u) W (1., (n F u).Dans la suite du problème, on désigne par U une partie ouverte de Rn, par u (u1,., un ) un élément quelconque de U, par F une application de classe C 2 de U dans Rn1, par i F (resp.Désigne le produit vectoriel dans.3) Soit (e1,., en ) une base de Rn, Q la matrice de coecients qi, j (ei ej ).4.c) Démontrer lexistence et lunicité de nombres réels ai, j (u) tels que lon ait (i W u) j Ä ä Ä ä Ä ä Ä ä ai, j (u j F u).Vérier que A(u) S(u)Q(u)1.1 de, rn1.b) Vérier que, pour toute rotation R de Rn1, on a W R(x(1)., R(x(n) ) R W (x(1),., x(n) ).



4.d) On note respectivement A(u S(u Q(u)les matrices de coecients respectifs Ä ä Ä ä ai, j (u W (u i j F u), (i F u j F u).
Soient x(1),., x(n) des éléments de Rn1, (xj )j1,.,n1 les composantes de x(i) dans la base canonique de Rn1.
On a en outre W(u) (1 F u) (2 F u) (1 F u) (2 F u).
Que les n-vecteurs (i F u) sont i j F ) ses dérivées partielles dordre 1 (resp.On pose K(u) det A(u), H(u) 1 tr A(u) 2 où A(u) est la matrice dénie à la question.d).Le déterminant des n 1 vecteurs V, x(1),., x(n) dans la (i).a) Montrer que, pour toutn-uple de vecteurs (x(1),., x(n) ) linéairement indépendants, il existe un unique vecteur W (x(1),., x(n) ) ayant les propriétés suivantes i) W (x(1),., x(n) ) est de norme.4.b) Comparer (k W u i F u) et W (u i k F u).Que peut-on dire de ses valeurs propres?Exprimer le Ä ä vecteur ligne (v1,., vn ) en fonction de Q et du vecteur ligne (ve1., (ven ).6.a) Calculer K(0) et H(0) en fonction des nombres r (1 1 f 0), reduction nocibe parfum vide s (1 2 f 0), t (2 2 f 0).Soit R une rotation.Montrer que les objets K(0) et H(0) associés à lapplication R F sont égaux respectivement à K(0) et H(0).1.b) Comparer les conditions suivantes : i) V 0 ii) la famille (x(i) )i1,.,n est liée.3.b) Soit v un vecteur de Rn, de coordonnées vi dans la base (e1,., en ).

1.c) Exprimer en fonction de V base canonique de Rn1.
3.a) Montrer que Q est inversible et diagonalisable.
École polytechnique, fILIÈRE, mP, concours dadmission 2004, deuxiÈME composition DE mathÉmatiques (Durée : 4 heures) Lutilisation des calculatrices nest pas autorisée pour cette épreuve.


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